Inertia tensor 관성 텐서는 기존
관성 모멘트 가 회전축에 따라 달라지는 것을 보완하고, 평면 상의 강체 회전 뿐만 아니라
3 3 3 차원 상의 회전을 기술하기 위한
관성 모멘트 에 대응하는 물리량이다.
각운동량
L \mathbf{L} L 은 각속도
ω \boldsymbol{\omega} ω 와 다음과 같은 관계에 있음을 알고 있다.
L = I ω \displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega} L = I ω 위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트
I I I 는
스칼라 이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때이며, 3차원 상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전
할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트
I I I 는
스칼라 가 될 수 없다.
결론부터 얘기 하면,
I I I 는
스칼라 ,
벡터 보다 고급인 함수인데, 바로
텐서 이다.
우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로 부터 도출해보자.
파일:나무_관성텐서_유도_수정.png 그림과 같이 고정 좌표계인
x i ′ x_{i}' x i ′ 계와 강체의 질량 중심
O \textrm{O} O 을 원점으로, 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계)
x i x_{i} x i 계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해
ω \boldsymbol{\omega} ω 로 회전한다 하면, 아래가 성립한다.
( d r ′ α d t ) fixed = ( d R d t ) fixed + ( d r α d t ) rotating + ω × r α \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}+\left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} ( d t d r ′ α ) fixed = ( d t d R ) fixed + ( d t d r α ) rotating + ω × r α 이때 각 항의 의미 아래와 같다.
( d r ′ α d t ) fixed \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} ( d t d r ′ α ) fixed :
고정 좌표계 에서 측정한 질점
m α m_{\alpha} m α 의 속도.
( d R d t ) fixed \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} ( d t d R ) fixed :
고정 좌표계 에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도.
( d r α d t ) rotating \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{rotating}} ( d t d r α ) rotating :
회전 좌표계 에서 측정한 질점
m α m_{\alpha} m α 의 속도.
ω × r α \displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} ω × r α : 회전 좌표계의 회전에 의한 질점
m α m_{\alpha} m α 이 갖는 속도.
이때, 강체는 정의 상 각 질점의 위치는 회전 좌표계에 대해 변하지 않는다. 따라서
( d r ′ α d t ) fixed ≡ v α , ( d R d t ) fixed ≡ V \displaystyle \left( \frac{d \mathbf{r'}_{\alpha}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v}_{\alpha},\,\,\left( \frac{d \mathbf{R}}{dt} \right)_{\textrm{fixed}}\equiv \mathbf{V} ( d t d r ′ α ) fixed ≡ v α , ( d t d R ) fixed ≡ V 라 정의하면,
v α = V + ω × r α \displaystyle \mathbf{v}_{\alpha}=\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} v α = V + ω × r α 이 된다.
따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이다.
T = ∑ α 1 2 m α ( v α ⋅ v α ) = ∑ α 1 2 m α [ ( V + ω × r α ) ⋅ ( V + ω × r α \displaystyle T=\sum_{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}({\mathbf{v}}_{\alpha} \cdot {\mathbf{v}}_{\alpha} )=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) \cdot (\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha} T = α ∑ 2 1 m α ( v α ⋅ v α ) = α ∑ 2 1 m α [( V + ω × r α ) ⋅ ( V + ω × r α )]
전개하면,
T = ∑ α 1 2 m α V 2 + ∑ α 1 2 m α ( ω × r α ) 2 + V ⋅ ( ω × ∑ α m α r α ) \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2}+\mathbf{V} \cdot \left ( \boldsymbol{\omega} \times \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \right) T = α ∑ 2 1 m α V 2 + α ∑ 2 1 m α ( ω × r α ) 2 + V ⋅ ( ω × α ∑ m α r α ) 이다. 이때,
∑ α m α r α \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} ∑ α m α r α 은 질량중심을 나타내는 벡터에 강체의 전체 질량을 곱한 것이고,
r α \mathbf{r}_{\alpha} r α 이 질량중심을 시점으로 하는 벡터
임에 따라
0 0 0 이 되므로 우변의 제
3 3 3 항은
0 0 0 이 된다. 따라서 강체의 운동 에너지는 두 항으로 분리된다.
T = ∑ α 1 2 m α V 2 + ∑ α 1 2 m α ( ω × r α ) 2 \displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} T = α ∑ 2 1 m α V 2 + α ∑ 2 1 m α ( ω × r α ) 2 이때,
∑ α m α ≡ M \sum_{\alpha} m_{\alpha} \equiv M ∑ α m α ≡ M 으로 강체의 전체 질량이 됨에 따라
T = 1 2 M V 2 + ∑ α 1 2 m α ( ω × r α ) 2 \displaystyle T= \frac{1}{2} MV^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} T = 2 1 M V 2 + α ∑ 2 1 m α ( ω × r α ) 2 이 된다. 이때,
1 2 M V 2 ≡ T trans , ∑ α 1 2 m α ( ω × r α ) 2 ≡ T rotating \displaystyle \frac{1}{2} MV^{2} \equiv T_{\textrm{trans}},\,\, \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} \equiv T_{\textrm{rotating}} 2 1 M V 2 ≡ T trans , α ∑ 2 1 m α ( ω × r α ) 2 ≡ T rotating 를 각각 강체의
병진 운동 에너지 와
회전 운동 에너지 라 한다.
이때,
( ω × r α ) 2 = ( ω × r α ) ⋅ ( ω × r α ) (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} = (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})\cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) ( ω × r α ) 2 = ( ω × r α ) ⋅ ( ω × r α ) 를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면,
∑ α 1 2 m α [ ω 2 r α 2 − ( ω ⋅ r α ) 2 ] \displaystyle \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[\omega^{2} r_{\alpha}^{2}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}_{\alpha})^{2}] α ∑ 2 1 m α [ ω 2 r α 2 − ( ω ⋅ r α ) 2 ] 이때, 각 벡터의 성분을 밝혀 적으면,
∑ α 1 2 m α [ ( ∑ i ω i 2 ) ( ∑ k x α k 2 ) − ( ∑ i ω i x α i ) ( ∑ j ω j x α j ) ] \displaystyle \sum _{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}\left [ \left ( \sum _{i} \omega_{i}^{2} \right ) \left ( \sum _{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-\left ( \sum _{i} \omega_{i}x_{\alpha i} \right ) \left ( \sum _{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ] α ∑ 2 1 m α [ ( i ∑ ω i 2 ) ( k ∑ x α k 2 ) − ( i ∑ ω i x α i ) ( j ∑ ω j x α j ) ] 이다. 여기서
x α i x_{\alpha i} x α i 는
α \alpha α 번 째 질점의
x i x_{i} x i 좌표를 뜻한다. 이때,
크로네커 델타 를 사용하면,
∑ j δ i j ω j = ω i \sum_{j} \delta_{ij} \omega_{j}=\omega_{i} ∑ j δ ij ω j = ω i 가 되므로 위 식을 다시 쓰면,
∑ i j 1 2 ω i ω j { ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k x α k 2 ) − x α i x α j ] } \displaystyle \sum_{ij}\frac{1}{2} \omega_{i}\omega_{j} \left \{ \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] \right \} ij ∑ 2 1 ω i ω j { α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ x α k 2 ) − x α i x α j ] } 이때,
I i j ≡ ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k x α k 2 ) − x α i x α j ] \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] I ij ≡ α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ x α k 2 ) − x α i x α j ] 를
관성 텐서(Inertia tensor) 로 정의한다. 관성 텐서는 2차 텐서이며, 행렬 꼴로 나타내면 다음과 같다.
I = [ ∑ α m α ( x 2 2 + x 3 2 ) − ∑ α m α x 1 x 2 − ∑ α m α x 1 x 3 − ∑ α m α x 2 x 1 ∑ α m α ( x 1 2 + x 3 2 ) − ∑ α m α x 2 x 3 − ∑ α m α x 3 x 1 − ∑ α m α x 3 x 2 ∑ α m α ( x 1 2 + x 2 2 ) ] \boldsymbol{\mathsf{I} }=\begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) &\displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{2} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{1} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{1} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{2} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{bmatrix} I = α ∑ m α ( x 2 2 + x 3 2 ) − α ∑ m α x 2 x 1 − α ∑ m α x 3 x 1 − α ∑ m α x 1 x 2 α ∑ m α ( x 1 2 + x 3 2 ) − α ∑ m α x 3 x 2 − α ∑ m α x 1 x 3 − α ∑ m α x 2 x 3 α ∑ m α ( x 1 2 + x 2 2 ) 관성 텐서는 대칭행렬이기 때문에
I i j = I j i I_{ij}=I_{ji} I ij = I ji 가 성립하므로,
I 11 , I 22 , I 33 , I 12 , I 13 , I 23 I_{11},\,I_{22},\,I_{33},\,I_{12},\,I_{13},\,I_{23} I 11 , I 22 , I 33 , I 12 , I 13 , I 23 만 구하면 되며, 대각 성분인
I i i I_{ii} I ii 를
x i x_{i} x i 축 주위의 관성 모멘트라 하고, 그 외의 성분인
I i j ( i ≠ j ) I_{ij}\,(i \neq j) I ij ( i = j ) 를 관성곱이라 한다.
연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수
ρ ( r ) \rho(\mathbf{r}) ρ ( r ) 를 이용하면,
I i j ≡ ∫ ρ ( r ) [ δ i j ( ∑ k x k 2 ) − x i x j ] d V \displaystyle I_{ij} \equiv \int \rho(\mathbf{r}) \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{ k}^{2} \right )-x_{ i}x_{ j} \right ] dV I ij ≡ ∫ ρ ( r ) [ δ ij ( k ∑ x k 2 ) − x i x j ] d V 로 쓸 수 있다.
따라서 이것을 이용하면, 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기 가능하다.
T rotating = 1 2 ∑ i j I i j ω i ω j \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j} T rotating = 2 1 ij ∑ I ij ω i ω j 강체의 각운동량은 각 질점의 각운동량의 합과 같으므로
L = ∑ α r α × p α = ∑ α r α × ( m α v α ) = ∑ α m α r α × ( ω α × r α ) \displaystyle \mathbf{L}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times \mathbf{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times (m_{\alpha} \mathbf{v}_{\alpha}) =\sum_{\alpha}m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times ( \boldsymbol{\omega}_{\alpha} \times \mathbf{r}_{\alpha}) L = α ∑ r α × p α = α ∑ r α × ( m α v α ) = α ∑ m α r α × ( ω α × r α ) 벡터 항등식을 이용하여 다시 쓰면,
L = ∑ α m α [ r α 2 ω − ( ω ⋅ r α ) r α ] \displaystyle \mathbf{L} =\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left [ r_{\alpha}^{2}\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}_{\alpha}) \mathbf{r}_{\alpha} \right ] L = α ∑ m α [ r α 2 ω − ( ω ⋅ r α ) r α ] 벡터의 성분을 밝혀 적으면,
L i = ∑ α m α [ ω i ( ∑ k x α k 2 ) − x α i ( ∑ j ω j x α j ) ] \displaystyle L_{i}= \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \omega_{i}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} \left ( \sum_{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ] L i = α ∑ m α [ ω i ( k ∑ x α k 2 ) − x α i ( j ∑ ω j x α j ) ] 이것 또한
크로네커 델타 를 사용하여, 다시 쓰면,
L i = ∑ j ω j { ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k x α k 2 ) − x α i x α j ] } \displaystyle L_{i} = \sum_{j} \omega_{j} \left \{ \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij} \left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} x_{\alpha j} \right ] \right \} L i = j ∑ ω j { α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ x α k 2 ) − x α i x α j ] } 이때, 중괄로로 처리한 항은 위에서 도출했던 관성 텐서이므로 각운동량은 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
L i = ∑ j I i j ω j \displaystyle L_{i} = \sum_{j} I_{ij} \omega_{j} L i = j ∑ I ij ω j 이것을 텐서 표기법으로 쓰면,
L = I ⋅ ω \displaystyle \mathbf{L} = \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} L = I ⋅ ω 로 쓰고, 이 논의는 위에서 했던
3 3 3 차원 회전에선 관성 모멘트 항이 스칼라가 아닌,
텐서 가 돼야한다는 것을 얻는다.
각운동량 식에서 양변에
ω i / 2 \omega_{i}/2 ω i /2 를 곱하고,
i i i 에 대한 합을 하면,
∑ i 1 2 ω i L i = ∑ i j 1 2 I i j ω i ω j \displaystyle \sum_{i} \frac{1}{2} \omega_{i} L_{i} = \sum_{ij} \frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i} \omega_{j} i ∑ 2 1 ω i L i = ij ∑ 2 1 I ij ω i ω j 을 얻고, 우변은 위에서 얻었던 회전 운동 에너지이다. 따라서 다음을 얻는다.
T rotating = 1 2 ω ⋅ L = 1 2 ω ⋅ I ⋅ ω \displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} T rotating = 2 1 ω ⋅ L = 2 1 ω ⋅ I ⋅ ω 이번에는 관성 텐서를 이용하여, 임의의 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 어떻게 구하는 지 알아보자.
파일:관성텐서임의의축(수정본).png 위 그림과 같이 각속도
ω \boldsymbol{\omega} ω 로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점
O \textrm{O} O 를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터
n ^ \hat{\mathbf{n}} n ^ 를 방향 코사인으로 나타내면,
n ^ = ( cos α , cos β , cos γ ) \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma}) n ^ = ( cos α , cos β , cos γ ) 이라 나타낼 수 있고, 관성 모멘트의 정의에서 해당 축에 대한 관성 모멘트는
I = ∑ α m α r ′ α 2 \displaystyle I = \sum_{\alpha} m_{\alpha} {r'}_{\alpha}^{2} I = α ∑ m α r ′ α 2 이 된다.
이때,
r ′ α 2 = ( r α sin θ α ) 2 = ∣ n ^ × r α ∣ 2 {r'}_{\alpha}^{2} = (r_{\alpha} \sin{\theta_{\alpha}})^{2} = \left| \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{r}_{\alpha} \right|^{2} r ′ α 2 = ( r α sin θ α ) 2 = ∣ n ^ × r α ∣ 2 이다. 이때,
n ^ = ( cos α , cos β , cos γ ) \displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma}) n ^ = ( cos α , cos β , cos γ ) 와
r α = ∑ i x a i \mathbf{r}_{\alpha}=\sum_{i} \mathbf{x}_{ai} r α = ∑ i x ai 임을 이용하면, 다음을 얻는다.
I = [ cos α cos β cos γ ] [ I 11 I 12 I 13 I 21 I 22 I 23 I 31 I 32 I 33 ] [ cos α cos β cos γ ] I=\begin{bmatrix}\cos{\alpha} & \cos{\beta} & \cos{\gamma} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix} I = [ cos α cos β cos γ ] I 11 I 21 I 31 I 12 I 22 I 32 I 13 I 23 I 33 cos α cos β cos γ 이때,
I i j ≡ ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k x α k 2 ) − x α i x α j ] \displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] I ij ≡ α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ x α k 2 ) − x α i x α j ] 이다. 이것을 텐서 기호로 나타내면,
I = λ T ⋅ I ⋅ λ \displaystyle I = \boldsymbol{\lambda}^{T} \cdot \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\lambda} I = λ T ⋅ I ⋅ λ 로 나타낼 수 있다. 여기서
[ cos α cos β cos γ ] ≡ λ \begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix} \equiv \boldsymbol{\lambda} cos α cos β cos γ ≡ λ 으로, 축의 방향 벡터의 성분을 열벡터로 나타낸 것이며,
λ T \boldsymbol{\lambda}^{T} λ T 는
λ \boldsymbol{\lambda} λ 의
전치행렬 을 뜻한다.
파일:관성텐서평행축정리(수정본).png 위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌
Q \textrm{Q} Q 을 원점으로 잡은
X i X_{i} X i 계를 벡터
a \mathbf{a} a 만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인
O \textrm{O} O 가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴
x i x_{i} x i 계를 고려해보자. 이때,
X i X_{i} X i 계에서 측정된 관성 텐서의 성분을
J i j J_{ij} J ij 라 놓으면,
J i j = ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k X α k 2 ) − X α i X α j ] \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} X_{\alpha k}^{2} \right )-X_{\alpha i}X_{\alpha j} \right ] J ij = α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ X α k 2 ) − X α i X α j ] 이때, 다음이 성립하므로
R α = r α + a \displaystyle \mathbf{R}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}+\mathbf{a} R α = r α + a 위의 관성 텐서는
J i j = ∑ α m α [ δ i j { ∑ k ( x α k + a k ) 2 } − ( x α i + a i ) ( x α j + a j ) ] \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left \{ \sum_{k} (x_{\alpha k}+a_{k})^{2} \right \}-(x_{\alpha i}+a_{i})(x_{\alpha j}+a_{j}) \right ] J ij = α ∑ m α [ δ ij { k ∑ ( x α k + a k ) 2 } − ( x α i + a i ) ( x α j + a j ) ] 이때, 이것을 전개하고, 다시쓰면,
J i j = ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k x α k 2 ) − x α i x α j ] + ∑ α m α [ δ i j ( ∑ k a k 2 ) − a i a j ] − 2 ∑ α m α [ δ i j ∑ k x α k a k − ( x α i a j + x α j a i ) ] \displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ]+\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j} \right ]-2\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left[ \delta_{ij} \sum_{k} x_{\alpha k}a_{k}-(x_{\alpha i} a_{j}+x_{\alpha j} a_{i}) \right] J ij = α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ x α k 2 ) − x α i x α j ] + α ∑ m α [ δ ij ( k ∑ a k 2 ) − a i a j ] − 2 α ∑ m α [ δ ij k ∑ x α k a k − ( x α i a j + x α j a i ) ] 이때, 우변의 제
1 1 1 항은 위에서 계산했던,
x i x_{i} x i 계에서 측정된 관성 텐서의 성분인
I i j I_{ij} I ij 이고, 제
2 2 2 항에서
∑ α m α ≡ M \sum _{\alpha} m_{\alpha} \equiv M ∑ α m α ≡ M 으로 강체의 전체 질량이며, 제
3 3 3 항은
∑ α m α x α = ∑ α m α r α \sum _{\alpha } m_{\alpha} x_{\alpha } =\sum _{\alpha } m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} ∑ α m α x α = ∑ α m α r α 로 강체의 질량중심 벡터를 나타내는 항의 계산이 포함되어 있다. 그러나,
x i x_{i} x i 계의 원점이 강체의 질량중심이므로 이 항이 포함된 항은 모두
0 0 0 이 되므로 제
3 3 3 항은 없어진다.
이상에서
J i j = I i j + M [ δ i j ( ∑ k a k 2 ) − a i a j ] \displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j} \right ] J ij = I ij + M [ δ ij ( k ∑ a k 2 ) − a i a j ] 이고,
관성 모멘트 에서 "평행축 정리"라고 논했던 것의 일반형을 얻는다.
위에서
3 3 3 차원 상에서 강체의 회전 운동 시 각운동량과 각속도는 서로 평행하지 않음을 알아냈다. 그러나,
특정 축에선 이들이 평행할 수 있다. 그러한 축을
관성 주축 이라 한다. 즉,
L = I ω \displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega} L = I ω 를 만족하는 축을 구하려고 하는 것이다. 따라서 다음을 만족해야 한다.
I ⋅ ω = I ω \displaystyle \boldsymbol{\mathsf{I} } \cdot \boldsymbol{\omega} =I \boldsymbol{\omega} I ⋅ ω = I ω 이때, 단위 텐서
E \boldsymbol{\mathsf{E} } E 를 이용하면,
( I − I E ) ⋅ ω = 0 \displaystyle (\boldsymbol{\mathsf{I} }-I \boldsymbol{\mathsf{E}} ) \cdot \boldsymbol{\omega} =0 ( I − I E ) ⋅ ω = 0 로 식을 바꿀 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 바꾸면,
[ I 11 − I I 12 I 13 I 21 I 22 − I I 23 I 31 I 32 I 33 − I ] [ ω 1 ω 2 ω 3 ] = [ 0 0 0 ] \displaystyle \begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_{1}\\ \omega_{2}\\ \omega_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} I 11 − I I 21 I 31 I 12 I 22 − I I 32 I 13 I 23 I 33 − I ω 1 ω 2 ω 3 = 0 0 0 이때,
I I I 가
0 0 0 을 제외한 해를 갖기 위해선 행렬식
∣ I 11 − I I 12 I 13 I 21 I 22 − I I 23 I 31 I 32 I 33 − I ∣ = 0 \displaystyle \begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{vmatrix}=0 I 11 − I I 21 I 31 I 12 I 22 − I I 32 I 13 I 23 I 33 − I = 0 을 만족해야 한다.
여기까지 왔다면, 눈치 챈 사람도 있겠지만, 관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 똑같다는 것을 알 수 있다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고유값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터
가 곧 주축에 대응하게 된다.
정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고유값
I I I 가 주축의 관성 모멘트임을 알 수 있고, 해당 고유값으로 구해진 각속도 벡터
ω = ( ω 1 , ω 2 , ω 3 ) \displaystyle \boldsymbol{\omega}= (\omega_{1}, \, \omega_{2}, \, \omega_{3}) ω = ( ω 1 , ω 2 , ω 3 ) 가 주축이 되게 된다.
주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴로 나타나게 된다.
I = [ I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ] \displaystyle \boldsymbol{\mathsf{I} } = \begin{bmatrix}I_{1} &0 &0 \\ 0 & I_{2} &0 \\ 0 &0 & I_{3}\end{bmatrix} I = I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 참고로, 대각화 문제를 많이 풀어봤다면, 관성 주축은 어떤 직선으로 주어지는 것 뿐만 아니라, 평면(축의 임의성이 존재)이 주어질 수도 있음을 추측해볼 수 있다.
관성 텐서의 경우 구해진 주축은 모두 직교하게 되며, 주축의 관성 모멘트는 실수 값이 구해지게 된다. 대칭행렬, 스펙트럼 정리 참조. 이것에 대한 증명은 수준 상 생략한다.
관성 모멘트의 정의에서 같은 물체를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 불편함을 해결하기 위해 관성 텐서가 도입되었다.
관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식
에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.
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